la bibiliothèque universelle - récréation logico-mathématique / Guy Lardreau, A quoi les fictions sont-elles bonnes en philosophie ?

A quoi ressemblerait une bibliothèque rassemblant tous les livres possibles, une bibliothèque universelle ?

Avant de commencer à nous intéresser à ce problème, nous allons tout d'abord fixer le cadre dans lequel nous allons nous le poser:

Premièrement, nous allons supposer que tout écrit a un début et une fin. Il n'y a certes pas de contradiction à imaginer une suite infinie et non répétitive de symboles (les décimales de pi en sont un exemple), mais il nous semble plus raisonnable de parler d'écrits qui ont un début et une fin.

Deuxièmement, nous allons supposer que ces écrits sont présentés sous la forme de livres comportant un nombre déterminé de pages P et que chacune de ces pages peut contenir un nombre déterminé de signes S. Il n'est pas interdit qu'un écrit puisse consister en une suite de livres ainsi déterminés. Tout ce que nous exigeons comme nous l'avons dit, c'est que cette suite soit finie.

Enfin, nous allons aussi nous intéresser au nombre de symboles auquels nous avons droit pour composer des écrits. Par exemple, en français, on utilise le plus souvent les 26 lettres d'alphabet, plus les lettres accentuées et les symboles typographiques comme les virgules ou les points etc. Appelons le nombre de symboles auquels nous avons droit N.

Ceci dit, demandons-nous combien de livres ainsi définis peuvent exister (théoriquement bien sûr) ? Le calcul est aisé:

nombre de livres =  N^(P*S)

Si notre bibiliothèque est consituées de livres de 100 pages contenants chacune 1000 signes, et que le nous avons le droit à 100 symboles (par exemple les lettres de l'alphabet et leurs accentuations, les symboles typographiques les 10 chiffres et quelques symboles étrangers, comme des symboles mathématiques ou grecs) alors notre bibiliothèque universelle comporterait 100^(100*1000) = 100^(1'000'000) livres, autrement dit 100 suivit d'un millions de zéros.

Un de ces livres suffirait pour écrire ce nombre (à 3 zéros près), mais l'univers lui ne saurait tous les contenir. En effet l'univers fait aproximativement 1,5 * 10²⁶ metres. Or un livre de poche de 100 pages (folio) a une épaisseur d'environ 5 cm, autrement dit, il faut 20 livres pour faire 1 m. Une étagère montée dans l'univers pourrait donc contenir 30*10²⁶ livres, ce qui est à peu près 10^{(1'000'000-26)} fois trop petit.
Bref, ça en fait beaucoup.

Mais, direz-vous, puisqu'un écrit peut être constitué de plusieurs livres, pourquoi ne pas réduire la taille des livres à une page, le nombre de livre devrait ainsi être réduit ? En effet 100^(1*1000), ne font plus que 100¹⁰⁰⁰ livres, ce qui est déja 100^999'000 fois moins que le nombre de livres précédents. N'est-ce pas étrange ?

En effet, pourquoi pouvons-nous dire autant de choses grâce à 100^1'000'000 de livres que dans 100¹⁰⁰⁰ livres ? Tout simplement parce que nous pouvons faire se suivre des livres comme nous le désirons...

Essayons de rendre les choses plus faciles à saisir, soyons radical ! Supposons que nos livres comportent non seulement une seule page mais aussi un seul symbole par page. Nous arriverons, alors à un total de 100^(1*1) livres ce qui fait 100 livres ! Ces 100 livres correspondent aux 100 symboles que nous pouvons faire se succèder dans n'importe quel ordre. Certaines successions seront sensées comme, la succession "c+e+c+i+_+e+s+t+_l+'+h+i+s+t+o+i+r+e+_+d+e" d'autres non, comme "e+e+g+f+f+d+g+z+y+t". Ces successions de symboles étaient déja toutes présentes dans le premier ensemble de livres, mais elles y étaient effectivement réalisées sous forme de textes suivis. Le puriste lui, ira d'ailleurs j'usqu'à 2 livres, le livre contenant le symbole 0 et l'autre contenant le symbole 1 (ou tout autre couple), sachant que n'importe quel symbole peut être codé univoquement par une succession déterminée de 0 et de 1.

En fait on pourrait aller jusqu'à un seul symbole qui pour le lecteur averti signifierait l'ensemble des choses qui peuvent être écrites (il les aurait toutes "à l'esprit"), mais là si on ne déraisonne pas forcément, on est pas très raisonnable non plus.

M.S.

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Un lien sans lien évident avec les questions évoquées ci-dessus

Guy Lardreau, A quoi les fictions sont-elles bonnes au philosophe ?